Carolina Urzúa, Carlos Jerez
JI3 2011, número 1, páginas 40-41.
Abstract
Los desafíos del mundo moderno han llevado a fisicos, matemáticos e ingenieros a estudiar distintos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales parciales, como los elementos finitos (FEM) y elementos de fronter (BEM), entre muchos otros. Evidentemente, todos estos métodos tienen sus fortalezas y debilidades y, acorde a las mismas, el contexto que favorece su aplicación. En particular, para el caso de los elementos de frontera, pasamos de resolver una ecuación diferencial a una ecuación integral, utilizando para ello los operadores simple capa y doble capa, con la ventaja de que estos satisfacen las identidades de Calderón y, de este modo, se simplifica su resolución y obtenemos precondicionadores, facilitando asi su implementacion computacional. Entre los muchos usos que se le da a los elementos de frontera, se encuentra el analisis del efecto que tienen obstaculos en lo que, en condiciones ideales, son campos uniformes, como es el caso de la difracción de ondas en un objeto rígido (por ejemplo para diseñar un radar). Sin embargo, en muchos de estos problemas los obstáculos son demasiado finos, como es el caso de las fracturas, por lo que la complejidad del problema aumenta. El precondicionamiento de Calderón ha sido utilizado exitosamente en el pasado para la resolución de integrales de frontera sobre superficies sin borde [1,2]. La situación cambia drásticamente cuando se consideran fronteras abiertas como ocurre en el caso de fracturas o pantallas. De hecho, las identidades de Calderón fallan debido a la desaparición del operador doble capa y su adjunto. Por otro lado, los operadores singulares restantes ya no transforman los espacios fraccionales de Sobolev en una forma dual, sino que degeneran en distintos subespacios acorde a su extensibilidad por cero. Recientemente, Jerez-Hanckes y Nédélec [3], demostraron que descomponiendo la solución de volumen en un salto y un promedio se obtienen resultados de coercividad precisos en los espacios fraccionales de Sobolev asociados y se caracteriza el desajuste que ocurre entre ellos. Más aún, los autores presentan una forma explícita y exacta para las formulaciones variacionales cuando se considera un intervalo abierto. Del mismo modo, se presentan sus formulaciones inversas y se definen naturalmente relaciones de tipo Calderón para cada caso. Este trabajo consiste en estudiar principalmente la implementación numérica de dichos operadores actuando como precondicionadores y discutir sus futures extensiones.