Camilo Aburto, Carlos Jerez.
JI3 2014, número 4, páginas 66-71.
Abstract
Se analiza la solución por elementos finitos de la ecuación Au = f, donde A es un operador lineal y acotado, f es una fuente estocástica y u es el campo aleatorio solución del problema. El enfoque más simple para abordar esta ecuación está dado por una simulación Monte Carlo (MC), en la que se genera un gran número M de muestras fj del campo aleatorio, a partir de las cuales se resuelve la ecuación, obteniendo una muestra de la solución {uj=A-1 fj, j=1,…,M}. Los momentos estadísticos de la solución u son aproximados por los momentos estadísticos del conjunto {uj}. En general, este método asegura una convergencia de orden O(M-1/2) para el primer momento y peores tasas para momentos superiores, como por ejemplo, la covarianza. El enfoque de este trabajo, introducido en [1] para el operador laplaciano, es utilizar la linealidad de la ecuación Au = f, para obtener una ecuación diferencial parcial determinista para el k-ésimo momento de la solución. Se ha mostrado en [2], [3] que el resultado de la ecuación determinista para momentos de orden mayor puede ser aproximado por elementos finitos con complejidad comparable al problema del primer momento, mediante productos tensoriales no-densos, cuando es posible construir una base jerárquica. Desde este enfoque, se contemplan dos formulaciones para el método de Galerkin que difieren en el espacio de prueba utilizado. Se aplicará esta metodología a la solución numérica del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace con una fuente estocástica. Para ello, se introducirá una base jerárquica de wavelets, a partir de la cual se considerará el producto tensorial no-denso de los espacios de prueba, para obtener la formulación de Galerkin.